立命館大学数理科学科

科目概要 科目概要
  数学及び情報関係の科目の概要は下記のようになっております。１回生の科目名の後に*印がついている科目は基礎専門科目で、それ以外の科目は専門科目です。 

1 回 生
数学 I * 実数の基本的な性質を解説する。それを基礎に置いた上で数列や級数の収束・発散、関数の連続性などを、きちんとした極限の概念を用いて解説する。大学の数学への導入期であるので丁寧に講義する。また、十分な理解が得られるように本科目の演習科目「数学演習 I」が設けられている。 数学 II * まず１変数微分法を解説する。高等学校でも１変数微分法はある程度学習しているので、大学で初めて出てくる部分に重点を置いて解説する。次いで１変数積分法についての講義に移るが、これも高校の数学の内容を視野に入れた解説となる。最後に関数列や関数項級数についての基本的事項の解説をする。また、十分な理解が得られるように本科目の演習科目「数学演習 II」が設けられている。
数学演習 I * 「数学 I」で講義される内容について演習を行う。すなわち実数の概念的把握をもとにして、数列・級数の収束、関数の連続性などの重要な極限概念がどのように展開されるかを多くの例題を通して自然にかつ具体的に理解されるように進めて行く。実際に様々の問題を解く訓練を通して広い実践能力が身につくことを目標にする。高校からの大きなギャップの一つは、「任意の」、「存在する」などの用語が絡んだ論理的表現である。特にセメスターの初めにはこの点にも重点を置いて理解を深めるように指導する。 数学演習 II * 「数学 II」で講義される内容について演習を行う。すなわち前半では一変数の微分法について、後半では一変数の積分法について、基本概念、変換則などが自然にまた具体的に理解され、さらには極値問題、特異積分なども扱えるように、多くの例題に則して説明しながら実際に問題を解く訓練を行ってゆく。
数学 III * 線形代数の基礎として、主として行列および行列式について講義する。高校での学習を踏まえて、平面のベクトルと複素数から始めて、行列、基本変形、連立１次方程式、行列式等を解説する。後に続く「数学 VI」と共に線形代数学の基礎となるものである。また、十分な理解が得られるように本科目の演習科目「線形代数演習 I」が設けられている。 数学 VI * 「数学 III」に引き続き、ベクトル空間及び線形写像について講義する。ベクトル空間、計量ベクトル空間、線形写像、固有値と固有ベクトル、を主な内容とする。「数学 III」と本科目とで線形代数学の基礎事項を一通り紹介するものである。また、十分な理解が得られるように本科目の演習科目「線形代数演習 II」が設けられている。
線形代数演習 I 「数学 III」の内容（行列、連立一次方程式、行列式等）の問題演習を通して、線形代数学の理解を深めることを目的とする。この時期が大学数学への導入期に当たることを考慮し、セメスターの初めに、１回生の数学を学ぶにあたって必要な集合と写像の基礎的な部分の学習をする。 線形代数演習 II 「数学 VI」の内容（ベクトル空間、線形写像、計量ベクトル空間、固有値と固有ベクトル）の問題演習を通して、初めて出会う抽象的数学（線形代数学）の考え方に馴染み、その理解を深めることを目的とする。
情報処理 * 現代の情報化社会においては、情報処理能力を身につけることが、数学や外国語を使いこなせることと同程度に必要とされている。この講義は、数理科学科における計算機関連科目の基礎科目として位置づけられ、特に、計算機およびプログラミングに関する基本的考え方の習得を目的とする。具体的には、計算機システムの概観を行った後に、C言語の文法とプログラミング技法を取り上げる。 情報処理演習 * この演習の目的は、情報システムの基本的な構成と機能を学んだ上で、さらに情報リテラシーと初歩のプログラミング技術の習得することにある。情報リテラシーでは、ファイル操作、文書作成システム（ワープロ、エディター等）や電子メイルの使用法、さらにはインターネット上の検索エンジンを利用した情報検索といったことも実習の対象とする。
情報科学 I * 本講義では、計算機のソフトウェアとハードウェア、データ構造とアルゴリズムの基本といった情報科学の基礎について講述する。具体的には、論理回路と計算機アーキテクチャの概要、システム・ソフトウェアやアプリケーション・ソフトウェアといったソフトウェアの基本構成とその概要、さらにはソーティング・アルゴリズム等の基本アルゴリズムなどについて説明する。


2 回 生
代数学序論 I 代数学への導入期科目で基礎的な概念の理解を目的とする。このため、群、環、加群等の代数系を通して、準同型定理を中心とした基礎的概念構成に馴染むことを目標とする。まず、代数系、群、環、体、加群の基礎概念と例を与え、群を通し、これらに共通な基礎定理である準同型定理などを解説し、環、加群でも全く同様な結果が成り立つことを理解させる。基礎科目であることを考慮し、講義後半の三分の一程度を演習に充てる。 代数学序論 II この科目では、群論を通して、抽象代数学の基本的な考え方を修得することを目標にする。「代数学序論 I」と同様に、初学者であることに考慮し、基本的な事項に話題を厳選し、丁寧に解説する。内容は、「代数学序論 I」で学んだ内容の上に立って、群論の基礎を解説する。具体的には、群の作用、シローの定理、直積、有限アーベル群、可解群、正規列等を解説する。基礎科目であることを考慮し、講義後半の三分の一程度を演習に充てる。
幾何学序論 I 幾何学への導入科目であり，主として３次元ユークリッド空間の中の曲線及び曲面について講義する。古典的ではあるがなじみやすい対象を通して、位相、連続写像等、幾何学における基礎概念の習得とともに、現代幾何学の考え方及びその手法についての理解を目標とする。 幾何学序論 II 幾何学の大きな柱の一つである位相幾何学の入門として、基本群について講義する。「幾何学序論 I」で学んだユークリッド空間の位相、連続写像を基に、曲線のホモトピーを定義して群を構成する。また、図形から群を作ることや、代数学の基本定理の証明に使われることなど、数学の多くの分野とも関連することに触れる。
解析学序論 I 「数学 I、 II」を受けて、多変数関数の微分法を学習する。内容としては、主として２変数関数を中心に行い、偏微分、全微分、合成関数の偏微分法、変数変換と逆関数の定理、テーラーの定理と極値問題、陰関数の極値と特異点などを扱う。なお、本科目は複数教員による年度毎のローテーション担当である。 解析学序論 II 「解析学序論 I」に引き続いて、多変数関数の積分法、いわゆる重積分法を学習する。内容としては、重積分の定義（リーマン積分）、重積分の累次積分化、変数変換、広義積分、曲面積分を学んで、さらに、ガウスの定理などの積分定理、ベクトル解析などに進む。なお、本科目は複数教員による年度毎のローテーション担当である。
解析学演習 I これは「解析学序論 I」で講義される内容についての演習科目である。したがって専ら偏微分法に関する演習をすることになるが、非常に基本的であるけれども理解しにくい部分も多いので、学生自らに考え、発表する機会をなるべく多く与え、丁寧に解説を加える。 解析学演習 II これは「解析学序論 II」で講義される内容についての演習科目である。したがって重積分に関する演習、およびベクトル解析の初歩的な事柄についての演習となる。問題を解かせ、丁寧に解説することによって、理解を深め、概念に慣れていくことを目標とする。
集合と位相 I 集合については１回生の講義でも必要な事項は教わっているが、この科目の前半で数学の専門科目に進むために必要な集合の基本的な理論をまとまった形で学習し、後半に抽象位相空間論の準備としてユークリッド空間を距離空間の立場から見直す。内容としては、同値関係、集合の濃度、順序集合、選択公理、実数体の構成、ユークリッド空間などを扱う。 集合と位相 II 集合と位相Iで学習したユークリッド空間などの距離空間での極限概念から出発し、開集合、閉集合の概念との関連性を明らかにして、開集合系（或いは閉集合系）による位相の一般概念に到達する。その上で写像の連続性、誘導位相、直積位相、連結性、コンパクト性、分離公理などの数学上重要な概念を展開して行く。
線形代数続論 数学III, IVで学んだ線形代数の基礎を下により深い内容とその応用に触れる。固有値問題とジョルダン標準形並びにそれに関連した話題を講義する。そのあとは担当する教員により様々な発展的内容が紹介される。 数理統計学 確率論の基礎から始めて数理統計学の基本を学ぶ。確率空間、重要な確率分布、極限定理を理解し標本分布、推定、仮説の検定を学ぶ。受講にあたっては多変数の微積分を十分理解していることが望ましい。
離散数学 組合せ問題は計算機科学のみならず、数学のあらゆる側面に見出される。ここでは、ポリアの数え上げ理論、母関数の方法、メビウスの反転公式といった数え上げ組合せ論の基本的な方法論を、群論や可換環論を中心とした代数学の理論や単体的複体の位相幾何学との関連をふまえながら講述し、組合せ論を現代数学の広い文脈の中での理解することを目標とする。 数理論理学 ゲーデルの不完全性定理を生み出した数学基礎論としての数理論理学と、論理型言語や演繹データベースの理論的基礎となっている導出原理等を生み出した計算機科学としての数理論理学を学習する。
プログラミング演習 本演習は「情報処理」および「情報処理演習」で習得したプログラミング技法を基礎として、さらに、複雑な問題に対する解決能力を身につけることを目的とする。具体的には、「情報科学 I」で学んだデータ構造を具体的にＣ言語で構成し、また、基本的なアルゴリズムを演習問題を通じて実行し、その理解を深めると共に応用能力を身につける。 情報理論 本講義では、通信ネットワークの信頼性理論やネットワーク・セキュリティーを保証する暗号理論の数学的理論として、最も基本的な情報理論について講述する。具体的には、初等確率論に基づくエントロピーを中心とした情報量の概念や、データ圧縮符号化、誤り訂正符号化の概念や基本的な性質について説明する。

3 回 生
環・体論 I この科目では、可換環の基礎的な概念とその取り扱いに慣れることを目的とする。まずイデアル、剰余環、環準同型定理を復習し、その後素イデアルと極大イデアル、一意分解整域、単項イデアル整域、商体などの基礎概念を学ぶ。体上の一変数多項式環のイデアルと剰余環、及び多項式の既約性は詳しく扱う。 環・体論 II この科目では、いくつかの分野を統合する優れた見本であるガロワ理論を解説する。まず、ガロワ理論の展開の基礎となる体の拡大、代数拡大、代数的閉体、分解体と正規拡大、分離性などの体の代数拡大についての基礎事項を学ぶ。次に、ガロワ拡大、ガロワ群、ガロワの基本定理、円分体と有限体、代数的方程式の可解性などのガロワ理論とその応用を学ぶ。
多様体論 I 多様体は、幾何学のみならず現代数学の他の分野においても重要な概念である。この科目では、多様体について、可微分構造、接ベクトル空間、写像の微分、部分多様体などの基本的概念及び関連する事項について講義する。聴講者には、この講義を通して、高度に抽象化された現代数学の一面を学んでもらいたい。 多様体論 II 現代数学の重要概念である多様体についての講義を、「多様体論 I」に引き続いて行う。「多様体論 I」で多様体の定義といくつかの基礎概念を習うが、「多様体論 II」でも、重要な概念である、ベクトル場、積分曲線、微分形式、外微分、ストークスの定理、及び関連する事項について解説する。
複素解析学 I 複素数の定義に始まり、複素数体・複素平面などを概説し、易しい具体例を通して、複素変数・複素数値の微分可能関数としての正則関数を概念的に確立する。さらに指数関数、対数関数をこのようなものとして捉え直し、三角関数・逆三角関数などをこれらによって統一的に扱う。またリーマン球・一次分数変換などにも触れる。 複素解析学 II 「複素解析学 I」で確立された正則関数の一般的理解の上に、新たに複素線積分を導入して、この関数のさらに美しい、調和のとれた性質を学んで行く。具体的には、コーシーの積分定理・積分公式を通して、正則性と局所ベキ級数展開可能性との同等性を認識し、さらに孤立特異点でのローラン展開、有理型関数などの理論を展開しつつ、複素解析の強力な道具立てである留数定理を身につける。
関数解析 I 関数解析学の基本概念であるバナッハ空間論の基本的部分について講義する。連続関数空間の近似理論から入り、フーリエ解析へと話を展開していく。とかく抽象的で理解しづらい理論を具体的例をあげながら話を展開し、その本質的意味を丁寧に講義する。応用上重要な一様有界性の定理、カテゴリー定理、ハーン・バナッハの拡張定理について触れる。 関数解析 II 関数解析 Iの内容を基礎にして、ヒルベルト空間論について講義する。シュワルツの不等式、正規直交基底、次元、直交分解、リースの表現定理、ヒルベルト空間上の有界作用素、特に、コンパクトな自己共役作用素の基本的性質を講義する。
微分方程式論 常微分方程式の基本的な部分を学ぶ。求積法の簡単な紹介と、解の存在と一意性、初期値やパラメータに関する解の連続性等の基礎的な定理を説明した後、線形理論を中心に講義する。

積分論 I 本講義ではルベーグ積分について学ぶ。ルベーグ積分の基礎になるのは測度という概念であり、これは面積や体積に相当する概念を抽象的に整理したものである。測度の構成、積分の定義、その積分の一般的性質、とくに二つの重要な収束定理、および重積分におけるFubiniの定理の習得をめざす。 積分論 II 本講義は「積分論 I」の続編としてその解析学一般への応用を学ぶ。無限次元の線形空間の第一の例としてのヒルベルト空間上の解析がその主な内容である。さらに測度の微分、とくにラドン・ニコデュムの定理の習得もめざす。
保険数理 微積分学の基本的知識のみを前提に、社会保障とりわけ年金の数理、及び生命保険の数理を学ぶ。社会保障入門、年金システムとその国際比較、給付等の将来予測ーシミュレーション、生保等の利息計算、生命表・生命関数、保険料・責任準備金等の計算、連生保険などを取り上げる。 確率論 確率論、とくに測度論的確率論について学ぶ。大数の法則、中心極限定理、および大偏差原理のできる限り厳密な証明などとともに、その応用例なども見ていく。またさまざまな確率分布の性質をできるだけ具体的に調べること、そのための数学的方法を習得することも本講義の目標である。
アルゴリズム論 本講義ではアルゴリズムの中でも、計算機ネットワークの制御等実社会で広く応用されているネットワーク・アルゴリズムについて講述する。具体的には、グラフ理論の基礎について説明し、さらにその応用としてネットワークに対する最小木や最短経路問題を解決する種々のアルゴリズムを説明する。 アルゴリズム論演習 本演習は「アルゴリズム論」で学んだグラフやネットワークに関するアルゴリズムを具体的に計算機で処理することによって理解度を深め、実践的能力を身につけることを目的とする。先ずは、既に習得しているデータ構造の知識を駆使し、問題に応じたグラフやネットワークの計算機による記憶方法についての理解度を深める。さらに、具体的演習問題を解決することにより、ネットワーク・アルゴリズムの基礎と応用能力を身につける。
数値解析 情報化時代といわれ、コンピュータがごく普通に利用される現代において、数式処理ソフトを使用する機会が多くなるであろう。本講義では、単にユーザとして終わるのではなく、ブラックボックスであるプログラムを理解するために必要な基本的なアルゴリズムについて解説し、その修得を目的とする。内容は、反復法、代入法、補間法、関数近似法についての基本的なアルゴリズムを取り上げる。 数値解析演習 本演習は「数値解析」で学んだアルゴリズムを具体的にC言語でプログラミング化することによって理解度を深め、実践的能力を身につけることを目的とする。既に習得しているC言語の復習をしながら、講義で学んだアルゴリズムをプログラミング化する。さらに、具体的演習問題を解決することにより、アルゴリズムの基礎と応用能力を身につける。
数理計画法 数理計画法とは、与えられた制約条件を満たしながら目的とする関数の値を最大化(または最小化)する解を求めると言う、極めて一般的な問題を扱う数学理論である。この講義では、生産管理、制御の問題などの応用を念頭において、特に条件や目的関数が線形である場合、すなわち線形計画法の基礎的概念と解法を学ぶ。 数理科学セミナー 専門科目の基礎および発展した話題についての講義に、学生が専門書を読む力および発表する力をつけるためのセミナーを交えて行う。またこの科目は必修科目「卒業研究」の導入期教育として位置づけている。
特殊講義（専門） I
特殊講義（専門） II

4 回 生
代数学続論 楕円曲線が整数論において興味を持たれるようになって久しく、その役割は更に大きくなっている。例えばフェルマー予想の解決に大きな役割を果たしたことは記憶に新しい。本講義では楕円曲線の初歩を、整数論的な面を重視して解説する。また時間があれば、暗号理論などへの応用に大事である有限体上の楕円曲線を扱う可能性もある。 幾何学続論 リー群論、リーマン幾何学、ホモロジー論等、より高度な現代幾何学の理論から話題を取り上げて解説する。ここでは、幾何学のみならず、群論、微分方程式論等の基礎知識も必要であり、講義を通して、現代数学における様々な理論の有機的結合の一面も学んでもらいたい。
複素解析学続論 「複素解析学 I、 II」で身につけた知識と方法の上に立って、さらに概念的に進んだ複素解析を学ぶ。具体的には、全平面での有理型関数を主要部を与えて構成する問題、全平面で正則な関数を零点を与えて構成する問題などに携わる。とくにワイヤストラスの無限乗積の理論を展開し、実践例としてガンマ関数、正弦関数などの無限積表示を取り上げ、それを様々な問題に応用する。 関数解析続論 関数解析 I, IIを基礎にし、スペクトル理論、超関数論、表現論、作用素環論のトピックから担当教員が選択して講義をする。
微分方程式続論 線形偏微分方程式の入門的部分を講義する。有名なCauchy-Kowalevskyの定理を紹介した後、２階偏微分方程式の分類を行い、双曲型、楕円型、放物型それぞれの典型的な問題について詳述する。Fourierの方法及び楕円型方程式の固有値問題においては、その理解に必要な関数解析の素養を復習しつつ、その重要性が強調されるであろう。 確率過程論 本講義では離散時間の確率過程、とくにランダムウォークを中心とするマルコフ連鎖の理論、および連続時間の確率過程、とりわけブラウン運動と拡散過程の理論について学ぶ。後半部分については確率積分、確率微分方程式、伊藤の公式などの高度な理論への導入までを射程とする。
計算機数学 この科目では、数式処理システムにおける中心概念である計算機代数や計算代数幾何学を理解するための、可換環論について講述する。具体的には多項式環論を中心とした多項式環のイデアル論の基礎や、数式処理システムの基本アルゴリズムであるブーフバーガー・アルゴリズムに深く関連するグレブナー基底の概念、およびそれらの応用について説明する。 暗号理論 急速に利用が広がっているインターネット上の通信の安全性を確保するために用いられている暗号技術は、整数論、代数曲線論、確率論などのさまざまな数学によって支えられている。この講義では、必要な数学的知識の初歩を解説しながら、公開鍵暗号、乱数の理論などを概観し、通信の安全性技術の数理科学的な基礎理論の理解を目標とする。
シミュレーション技法 本講義では、現実世界における現象に数学的なモデルを与え、それを計算機によってシミュレーション、すなわち仮想実験することによって、問題へのアプローチを図るための、基礎理論とその応用について講述する。具体的には、準モンテカルロ法などの確率的な手法や、ノイズの項を含む微分方程式の記述などについて説明する。 卒業研究 数理科学に関する特定の課題について研究する。

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