談話会

数理科学科談話会 (2017/11/30)

2017.11.23 Thu up
<<立命館大学数理科学科談話会>>

日時: 2017年11月30日(木)16:30~18:45

場所: 立命館大学びわこ・くさつキャンパス(BKC)
            ウェストウィング6階談話会室

講演① 16:30-17:30
タイトル: 局所的にヘルダー連続な拡散係数を持つカントール確率微分方程式について

講演者: 土屋 貴裕 (会津大学)

アブストラクト:
有界で滑らかな拡散係数が退化する線形偏微分方程式の解は Hailer et al. AOP 2015 で指摘されたように,局所的にヘルダー連続ですならなく古典的な解の概念では捉えきれない,ラフティング効果という特異な現象を有することがある.これは応用にも本質的な影響を与えるもので,実際にオイラー丸山近似が多項式オーダーでは収束しない.さらに数理ファイナンスで用いられる CIR や Heston タイプもラフティング効果を有しており,実務に耐えうる時間内でリスク評価を終えることが難しいことがあると指摘されている (Hefter and Jentzen Arxiv 2017).したがって純粋学問,応用の観点からも研究対象として重要である.

本談話会では 一次元のドリフトなし non-Lipschitz 拡散係数をもつ確率微分方程式の解の安定性とその応用について述べる.

具体的な例として $\lambda$-Cantor 関数を考える.これは中央部分を $\lambda \in (0,1)$だけ取り除いて逐次的に構成できるCantor集合に対する関数で $\mathrm{H}_{\lambda}$-Holder連続な関数になる,$\mathrm{H}_{\lambda}\in (0,1)$.
それを拡散係数にもつ確率微分方程式を考えることで解の安定性問題が考えられる.今回示す必要十分条件の命題を踏まえつつ,退化を取り除いた方向からのアプローチの仕方で上からの評価がだいぶ様相が異なることを示す.

最後に偏微分方程式における一般的な仮定を満たさないが弱解を持つ Fokker-Planck-Kolmogorov 等式への応用について述べる.
さらに最近のStefano AAP 2011 の結果を援用して滑らかな基本解の存在と一意性を導き出せることを紹介する.

講演② 17:45-18:45
タイトル: A gauge action on non-commutative solitons

講演者: Hyun Ho Lee (University of Ulsan)

アブストラクト:
Taking formalism from Physics, we can define non-commutative harmonic maps between $C\sp*$-algebras. If we consider maps from a non-commutative torus to a two-point space or $*$-homomorphisms from two dimensional complex plane to an irrational rotation $C^*$-algebra, harmonic maps are smooth projections satisfying a nonlinear non-commutative elliptic PDE. In this talk, we present a constructive method to find so called solitons which comes from the Schwarz space of $\mathbb{R}$ and show that there is a large class of solitons which is linked to Signal analysis or Gabor analysis. Moreover, we introduce a gauge action on such solitons and quantify the condition how to gauge a Gaussian soliton to another Gabor frame.

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